中国矿业大学研究生初试自命题科目考试大纲
考试科目名称：数学分析
学院名称：数学学院
一、考试目的与要求
掌握函数概念及性质、数列极限的概念及计算;掌握实数基本定理、函数极限概念理论及计算;掌握函数连续性概念、理论;掌握导数与微分的概念、几何意义及计算;掌握一元函数中值定理及应用;掌握不定积分计算、定积分计算及应用;掌握数值级数审敛法、反常积分审敛法;掌握函数列与函数项级数收敛概念和判别方法;掌握幂级数基本概念、基本性质和基本理论;了解傅里叶级数基本概念、基本性质和基本理论;多元函数的极限与连续;多元函数微分学;了解隐函数定理;掌握含参变量积分、变限积分和线面积分。
二、考试范围
1. 函数： 实数概述，区间与邻域，函数概念，有界函数，单调函数，奇函数和偶函数，周期函数，复合函数，反函数，基本初等函数，初等函数。
2. 数列极限： 数列极限定义，收敛数列的性质及运算，单调有界数列极限存在定理，两个重要极限。
3. 实数的基本定理： 确界存在定理，区间套定理，Cauchy准则，聚点原理，有限覆盖定理，上下极限。
4. 函数极限： 极限定义、性质，Heine定理，单侧极限，Cauchy准则，无穷小量及其阶的比较，记号o， O，～，广义极限，无穷大量及其阶的比较。
5. 函数的连续性： 函数在一点连续性，单侧连续，间断点及其分类，函数在区间上的连续性，连续函数的局部有界性，保号性，有理运算。复含函数连续性，有齐闭区间上连续函数的性质，反函数连续性，初等函数的连续性。
6. 导数与微分： 导数定义，单侧导数，导函数，导数的几何意义，无穷大导数，和、差、积、商的导数，反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的导数;微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，高阶导数与高阶微分，由参量方程所表示的曲线的斜率。7. 中值定理与导数应用： 费马(Fermat)定理，罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余项)，近似计算，函数单调性的判别法，极值，最大值与最小值，曲线的凹凸性、拐点、渐近线，函数图象的讨论，罗比塔(L′Hospital)法则。
8. 不定积分： 原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分，几种无理函数的积分.
9. 定积分： 定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充要条件，闭区间上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数的可积性，定积分性质，微积分学基本定理，牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法，近似计算。
10. 定积分的应用： 简单平面图形面积，曲线的弧长与弧微分，曲率，已知截面面积函数的立体体积，旋转体积与侧面积，平均值，物理应用(压力、功、静力矩与重心等)。
11. 数项级数： 级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数，比较原则，比式判别法与根式判别法，拉贝(Raabe)判别法与高斯判别法，一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱不尼茨判别法，阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法，绝对收敛级数的重排定理，条件收敛级数的黎曼(Riemann)定理。
12. 反常积分： 无穷限反常积分概念，柯西准则，线性运算法则，绝对收敛，反常积分与数项级数的关系，无穷限反常积分收敛性判别法。
无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。
13. 函数列与函数项级数： 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法*，函数列极限函数与函数项级数和的连续性，逐项积分与逐项微分。
14. 幂级数： 阿贝尔第一定理，收敛半径与收敛区间，一致收敛性，收敛性，连续性逐项积分与逐项微分幂级数的四则运算。泰勒级数，泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开近似计算，用幂级数定义正弦、余弦函数。
15. 傅里叶(Fourier)级数： 三角级数，三角函数系的正交性，傅里叶级数、贝塞尔(Bessel)不等式，黎曼—勒贝格(Riemann-lebesgue)定理，傅里叶级数的部分和公式，按段光滑且以2π为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理，奇函数与偶函数的傅里叶级数，以2L为周期的函数的傅里叶级数，一致收敛性定理，傅里叶级数的逐项积分与逐项微分，维尔斯特拉斯函数逼近定理。
16. 多元函数的极限与连续： 平面点集概念(邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等)。平面点集的基本定理—区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限，累次极限，二元函数的连续性，复合函数的连续性定理，有界闭域上连续函数的性质。n维空间与n元函数(距离、三角形不等式、极限、连续等)。
17. 多元函数的微分学： 偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件、全微分在近似计算中的应用，方向导数与梯度，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数及其与顺序无关性，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数极值。
18. 隐函数定理的及其应用： 隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。
隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换，函数行列式，函数相关。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。
19.含参量积分： 含参量积分概念，连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯判别法，连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换，Γ函数与β函数。
20. 重积分： 平面图形面积，二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算(化为累次积分)，二重积分的换元法(极坐标变换与一般变换)。三重积分定义与计算，三重积分的换元法(柱坐标变换、球坐标变换与一般变换)。重积分应用(体积，曲面面积，重心，转动惯量等)。n重积分。无界区域上及无界函数反常二重积分的收敛性概念。
21. 曲线积分与曲面积分： 第一型和第二型曲线积分概念与计算，格林公式，曲线积分与路径无关条件。曲面的侧，第一型和第二型曲面积分概念与计算，奥斯特罗格拉特斯基一高斯公式，斯托克斯公式、场论初步(场的概念，梯度、散度、旋度、管形场、有势场).
三、试题结构
1.考试时间：3小时
2.试题类型：计算题80%，证明题20%
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