中国矿业大学研究生考试大纲（高等代数）

时间:2024年04月28日作者:江苏教育考试网点击:次

中国矿业大学研究生初试自命题科目考试大纲

　　考试科目名称：高等代数

　　学院名称：数学学院

　　一、考试目的与要求

　　要求考生系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

　　二、考试范围

　　1、多项式理论

　　考察多项式的相关概念、基本性质、一元多项式的带余除法、不可约多项式的性质和判定、最大公因式的性质、三种具体数域上多项式的不可约分解定理。

　　2、行列式

　　理解行列式的概念，掌握行列式的性质、行列式的乘法法则。会应用行列式概念和基本性质计算行列式，能够熟练掌握行列式按行(列)展开定理，能够运用递推公式计算一些经典类型的行列式。

　　3、向量和矩阵

　　向量的线性组合和线性表示，向量组的等价，向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。矩阵的概念，矩阵的基本运算，矩阵的转置，伴随矩阵，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，矩阵的初等变换和初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，分块矩阵及其运算。

　　4、线性方程组

　　线性方程组的克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间及维数，非齐次线性方程组的通解。

　　5、二次型

　　二次型及其矩阵表示，非退化线性替换与矩阵合同，二次型的秩与惯性定理，二次型的标准形和规范形，实对称矩阵的正定性。

　　6、线性空间

　　线性空间的概念与基本性质，线性空间的维数、基与向量的坐标，线性空间中的基变换与坐标变换，过渡矩阵，线性子空间及其运算，线性空间的同构。

　　7、线性变换

　　线性变换的概念和简单性质，线性变换的运算，线性变换的矩阵，线性变换(矩阵)的特征值、特征向量和特征子空间，线性变换的特征多项式及Hamilton-Caylay定理，矩阵相似的概念及性质，矩阵可对角化的充分必要条件，线性变换的值域与核，线性变换的不变子空间，矩阵的若当标准型。

　　8、欧几里德空间

　　线性空间内积的定义及其性质，欧几里德空间的概念，标准正交基，施密特正交化过程，正交矩阵，正交变换及其性质，正交子空间、正交补及其性质，实对称矩阵的特征值、特征向量，对角化，欧几里德空间的同构。

　　主要参考书目:

　　《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，2003年7月第3版，高等教育出版社出版

　　三、试题结构

　　1.考试时间：3小时

　　2.试题类型：选择题15%，填空题15%，计算题15%，证明题55%

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