江苏省自学考试《抽象代数》考试大纲

时间:2024年05月19日作者:江苏教育考试网点击:次

(高纲0926)江苏省高等教育自学考试大纲

02009 抽象代数

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

　　一、课程性质、目的和要求

　　抽象代数即近世代数是现代数学的一个重要分支，是研究多种代数结构的一门学科。它是现代科学各个分支的基础，而且随着科学技术的不断进步，特别是计算机的发展与推广，近世代数的思想、理论与方法的应用越来越广泛。它的思想方法已经渗透到数学的多个分支，它的结果已应用到众多学科领域，它的内容对中学代数教学有指导意义。本课程是师范院校数学专业学生的必修课，也是教师本科自考的必考课程。近世代数的内容丰富，在本科阶段不可能全部掌握，根据所选教材，要求考生在学习本课程中，掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法，使学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法，为进一步学习其它学科创造条件。

　　课程内容包括：基本概念;群;环;整环里的因子分解。

　　二、课程内容与考核要求

　　第一章基本概念

　　本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有

　　1.集合的概念与运算

　　2.映射的定义与几种特殊映射的性质

　　3.卡氏积与代数运算

　　4.等价关系与集合的分类

　　考试要求：

　　掌握集合的概念与运算，掌握集合的交、并、集合的幂集的定义及表示，熟练掌握习题7、8的结论;了解映射的定义与几种特殊映射的性质，掌握映射的合成，熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论;掌握代数运算的定义与判定方法, 熟练掌握习题2;掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质，能够由等价关系得出集合分类，并能正确给出商集，熟练掌握习题5、6。

　　第二章群

　　群是具有一种代数运算的代数体系，即具有一个代数运算的集合，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。其主要内容有

　　1.半群的定义及性质

　　2.群的定义及等价条件

　　3.元素阶的定义及性质

　　4.循环群的定义及结构

　　5.子群及判定条件

　　6.变换群

　　7.群的同态与同构、Cayley定理

　　8.子群的陪集、Lagrange定理

　　9.正规子群与商群、正规子群的等价条件

　　10.同态基本定理与同构定理

　　考试要求：

　　掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论;掌握群的定义及性质，如定理2.5、定理2.6及推论; 熟练掌握群的一些重要例子，如例1、例3、例4、例7，熟练掌握习题2、3、6、9;掌握元素阶的定义及相关重要性质，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，熟练掌握例1、例2;熟练掌握循环群的定义、构造及性质，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2, 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9;熟练掌握子群的定义及性质，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5; 掌握变换群的概念及有关结论，熟练掌握次对称群、循环置换的概念及性质，特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4;掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，会求同态象与同态核，掌握习题1、2;掌握子群陪集的概念及性质，熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6，熟练掌握习题2、3、 4、5;掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40, 能够正确判定子群与正规子群, 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6，正确掌握商群的概念及性质(推论);掌握并正确使用同态基本定理，熟练掌握复习题二中的第2、4题。

　　第三章环

　　环是具有两中代数运算的代数体系，它也是近世代数中的一个重要分支。其主要内容有

　　1. 环的定义;整环、除环、域的定义及性质

　　2. 子环及判定条件

　　3. 环的同态与同构

　　4. 理想与商环

　　5. 素理想与极大理想

　　6. 商域

　　7. 多项式环

　　8. 扩域

　　9. 有限域

　　考试要求:

　　熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题：定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握环的单位元、零因子的定义及性质，熟练掌握习题5、9、10、11;掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6，掌握例1、例4、例6，需要注意：子环与环在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不一定一致;掌握环的同态与同构的定义及相关性质(定理3.10、定理3.11)，会求同态象与同态核，需要注意：当与满同态时，与在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致;熟练掌握习题2、3;掌握理想与商环的概念及相关命题(定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18); 熟练掌握主理想的构造(推论1)，熟练掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7;正确应用同态基本定理及同构定理; 掌握素理想与极大理想的定义、判定方法及相关命题(定理3.22、定理3.23及推论)，熟练掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3;了解商域及多项式环的构造;了解域的研究方法，掌握代数元的极小多项式的性质及求法，掌握有限扩域的概念及定理3.35。

　　第四章整环里的因子分解

　　在整数环中，每个不等于的非零整数都能分解成有限个素数的乘积，而且除了因数次序和的因数差别外，分解是惟一的。同样，在数域上的一元多项式环中，每个次数的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积，而且除了因子次序和零次因式的差别外，分解是惟一的。在这一章里，我们将对一般的整环讨论元素分解的理论，给出整环中因子分解惟一性定理成立的一些条件，并介绍几种惟一分解定理成立的整环。其主要内容有

　　1. 不可约元、素元、最大公因子

　　2. 惟一分解环

　　3. 主理想环

　　4. 欧氏环

　　5. 惟一分解环上的一元多项式环

　　6. 因子分解与多项式的根

　　考试要求:

　　掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质，熟练掌握例1、例2及习题2、3、4;掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质，熟练掌握例1及习题1;熟练掌握主理想环的概念及主理想环的例子，如：整数环、域上的一元多项式环，知道整数环上的一元多项式环不是主理想环，掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5;熟练掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子，如：整数环、高斯(Gauss)整数环、域、域上的一元多项式环，掌握定理4.17、定理4.18;掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环;了解因式分解与多项式的根的概念及其性质，掌握例子及习题1、2、3。

　　三、有关说明

　　(一)教材：

　　自学教材：1、《近世代数》，朱平天主编，科学出版社，2001年版;2、《抽象代数基础》，李克正主编，清华大学出版社，2007年。

　　教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材，教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为依据。

　　其他参考书目：

　　《近世代数基础》，张禾瑞编，人民教育出版社, 1984年版。

　　(二)自学方法的指导

　　本课程作为一门专业课程，内容抽象，综合性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：

　　1.本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基础上，系统地学习群、环、域的基础知识。因此，自学前，要注意知识的积累与衔接。应仔细阅读课程考试大纲，了解课程的性质、地位和要求，熟悉掌握课程的基本内容，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。

　　2.所配教材是自学的主要依据，自学时应结合教材及课程考试大纲和参考书目，熟练掌握基本概念和方法的同时，能结合具体例子进行练习和运用，以达到本课程的要求。

　　(三)对社会助学的要求

　　1.应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章节的知识点。